Question

9．设a＞1，b＞1，求证：$\frac{{a}^{2}}{b-1}$+$\frac{{b}^{2}}{a-1}$≥8．

Answer 1

分析 换元，利用基本不等式，即可证明结论．

解答 证明：记x=a-1，y=b-1，那么题目变成x＞0，y＞0，求证$\frac{（x+1）^{2}}{y}$+$\frac{（y+1）^{2}}{x}$≥8，
即（x+1）²x+（y+1）²y≥8xy，
即x³+2x²+x+y³+2y²+y≥8xy．
因为2x²+2y²≥4xy，x³+x≥2x²，y³+y≥2y²，
所以x³+2x²+x+y³+2y²+y≥2x²+2y²+4xy≥8xy，
所以$\frac{{a}^{2}}{b-1}$+$\frac{{b}^{2}}{a-1}$≥8．

点评 本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，正确变形是关键．