Question

19．若函数$f（x）的定义域（{0，+∞}），且满足\frac{f（x）}{x}＞{f^'}（x）$，则下列结论中一定成立的是（　　）

• A． 2016f（2015）＞2015f（2016）
• B． 2014f（2014）＞2015f（2015）
• C． 2015f（2016）＞2016f（2015）
• D． 2015f（2015）＞2014f（2014）

Answer 1

分析 令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，求出g（x）在（0，+∞）递增，得到g（2015）＜g（2016），得出结论即可．

解答 解：若函数$f（x）的定义域（{0，+∞}），且满足\frac{f（x）}{x}＞{f^'}（x）$，
则xf′（x）-f（x）＞0在（0，+∞）恒成立，
令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，则g′（x）=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$＞0，
g（x）在（0，+∞）递增，
∴g（2015）＜g（2016），
即2016f（2015）＜2015f（2016），
故选：C．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道中档题．