Question

14．知椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的两个焦点与短轴的一个端点是等边三角形的三个顶点．且长轴长为4．
（I）求椭圆E的方程：
（Ⅱ）若A是椭圆E的左顶点，经过左焦点F的直线1与椭圆E交于C，D两点，求△OAD与△OAC的面积之差的绝对值的最大值．（0为坐标原点）

Answer 1

分析 （I）由题意可知：2a=4，2a=c，根据椭圆的性质：b²=a²-c²，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（Ⅱ）由题意设直线方程，x=ky-1，将直线方程代入椭圆方程，根据韦达定理求得y₁+y₂，根据三角形的面积公式丨S₁-S₂丨=$\frac{1}{2}$×2×丨丨y₁丨-丨y₂丨丨=$\frac{6丨k丨}{3{k}^{2}+4}$，分类，当k=0时，丨S₁-S₂丨=0，k≠0时，根据基本不等式的关系，即可求得丨S₁-S₂丨的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

解答 解：（Ⅰ）由题意得2a=4，即a=2，
2a=c，即c=1，
又b²=a²-c²，
∴b²=3
故椭圆E的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）设△OAD的面积为S₁，△OAC的面积为S₂，
设直线l的方程为x=ky-1，C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）
∴由$\left\{\begin{array}{l}{x=ky-1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，整理得：（3k²+4）y²-6ky-9=0，
∴由韦达定理可知：y₁+y₂=$\frac{6k}{3{k}^{2}+4}$，
∴∴丨S₁-S₂丨=$\frac{1}{2}$×2×丨丨y₁丨-丨y₂丨丨=丨y₁+y₂丨=$\frac{6丨k丨}{3{k}^{2}+4}$，
当k=0时，丨S₁-S₂丨=0，
当k≠0时，丨S₁-S₂丨=$\frac{6}{3丨k丨+\frac{4}{丨k丨}}$≤$\frac{6}{2\sqrt{3丨k丨•\frac{4}{丨k丨}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（当且仅当3丨k丨=$\frac{4}{丨k丨}$，即k=±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$时等号成立）．
∴丨S₁-S₂丨的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，韦达定理，三角形面积公式及基本不等式的综合应用，考查转化思想，属于中档题．