Question

10．三棱锥P-ABC的底面ABC是边长为1的正三角形，顶点P到底面的距离为$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，点P，A，B，C均在半径为1的同一球面上，A，B，C为定点，则动点P的轨迹所围成的平面区域的面积是（　　）

• A． $\frac{1}{6}π$
• B． $\frac{1}{3}π$
• C． $\frac{1}{2}π$
• D． $\frac{5}{6}π$

Answer 1

分析 求出球心到平面ABC的距离，利用三棱锥P-ABC的高为$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，可得球心到动点P的轨迹所围成的平面区域的距离，即可求出圆的半径，从而可得动点P的轨迹所围成的平面区域的面积．

解答 解：∵AB=AC=BC=1，
∴△ABC的外接圆的半径为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵球的半径为1，
∴球心到平面ABC的距离为$\sqrt{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$
∵三棱锥P-ABC的高为$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，
∴球心到动点P的轨迹所围成的平面区域的距离为$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∴动点P的轨迹所围成的平面区域的圆的半径为$\sqrt{1-\frac{1}{6}}$=$\sqrt{\frac{5}{6}}$，
∴动点P的轨迹所围成的平面区域的面积是$π•\frac{5}{6}$=$\frac{5π}{6}$．
故选：D．

点评 本题考查动点P的轨迹所围成的平面区域的面积，考查学生的计算能力，正确求出动点P的轨迹所围成的平面区域的圆的半径是关键．