Question

20．已知函数$f（x）=\frac{1}{2}cos（{2x-φ}）\;\;（{0＜φ＜π}）$，其图象过点$（{\frac{π}{6}，\frac{1}{2}}）$．
（1）求φ值；
（2）将函数y=f（x）图象上各点横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求y=g（x）在x∈$[{0，\frac{π}{4}}]$上的值域．

Answer 1

分析 （1）由已知可求$\frac{1}{2}=\frac{1}{2}cos（{2×\frac{π}{6}-φ}）$，结合范围0＜φ＜π，即可得解φ的值；
（2）由（1）利用三角函数平移变换的规律可求$y=g（x）=\frac{1}{2}cos（{4x-\frac{π}{3}}）$，由$x∈[{0，\frac{π}{4}}]$，利用余弦函数的图象可求其值域．

解答 解：（1）∵$f（x）=\frac{1}{2}cos（{2x-φ}）$，且函数图象过点$（{\frac{π}{6}，\frac{1}{2}}）$，
∴$\frac{1}{2}=\frac{1}{2}cos（{2×\frac{π}{6}-φ}）$，即$cos（{\frac{π}{3}-φ}）=1$，解得$φ=\frac{π}{3}+2kπ，k∈{z}$．
又0＜φ＜π，
∴$φ=\frac{π}{3}$．
（2）由（1）知$f（x）=\frac{1}{2}cos（{2x-\frac{π}{3}}）$，
将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$，
纵坐标不变，得到函数$y=g（x）=\frac{1}{2}cos（{4x-\frac{π}{3}}）$的图象．
∵$x∈[{0，\frac{π}{4}}]$，
∴$4x-\frac{π}{3}∈[{-\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}}]$，
故$-\frac{1}{2}≤cos（{4x-\frac{π}{3}}）≤1$．
∴y=g（x）在$[{0，\frac{π}{4}}]$上的最大值和最小值分别为$\frac{1}{2}$和$-\frac{1}{4}$．

点评 本题主要考查了三角函数平移变换的规律，余弦函数的图象和性质，三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和数形结合思想，属于基础题．