Question

5．为了解某地区观众对大型综艺活动《中国好声音》的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众收看该节目的场数与所对应的人数表：

P（K2≥k）	0.05	0.01
k	3.841	6.635

场数	9	10	11	12	13	14
人数	10	18	22	25	20	5

将收看该节目场次不低于13场的观众称为“歌迷”，已知“歌迷”中有10名女性．
（1）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料我们能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“歌迷”与性别有关？

	非歌迷	歌迷	总计
男
女
总计

（2）将收看该节目所有场次（14场）的观众称为“超级歌迷”，已知“超级歌迷”中有2名女性，若从“超级歌迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．

Answer 1

分析 （1）由统计表可知，在抽取的100人中，“歌迷”有25人，完成2×2列联表，求出k²的观测值k²=$\frac{100}{33}$≈3.030＜3.841，由此得到我们不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“歌迷”与性别有关．
（2）由统计表可知，“超级歌迷”有5人，利用列举法能求出至少有1名女性观众的概率．

解答 解：（1）由统计表可知，在抽取的100人中，“歌迷”有25人，
从而完成2×2列联表如下：

	非歌迷	歌迷	总计
男	30	15	45
女	45	10	55
总计	75	25	100

将2×2列联表中的数据代入公式计算，
得k²的观测值：k²=$\frac{100×（30×10-45×15）^{2}}{75×25×45×55}$=$\frac{100}{33}$≈3.030．
因为3.030＜3.841，
所以我们不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“歌迷”与性别有关．
（2）由统计表可知，“超级歌迷”有5人，从而一切可能结果所组成的基本事件空间：
Ω={（a₁，a₂），（a₁，a₃），（a₂，a₃），（a₁，b₁），（a₁，b₂），
（a₂，b₁），（a₂，b₂），（a₃，b₁），（a₃，b₂），（b₁，b₂）}，
其中a_i 表示男性，i=1，2，3，b_i表示女性，i=1，2．
Ω由10个等可能的基本事件组成．
用A表示“任选2人中，至少有1名是女性”这一事件，
则A={（a₁，b₁），（a₁，b₂），（a₂，b₁），（a₂，b₂），（a₃，b₁），（a₃，b₂），（b₁，b₂）}，
事件A由7个基本事件组成．
所以至少有1名女性观众的概率P（A）=$\frac{7}{10}$．

点评 本题考查独立检验的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．