Question

2．若f′（x）是关于x的一次函数，且对一切x∈R，满足x²f′（x）-（2x-1）f（x）=1．求函数f（x）的解析式．

Answer 1

分析 首先，f′（x）=2ax+b，然后，根据所给等式进行化简，即可得到相应的解析式．

解答 解：设f′（x）=2ax+b，
则f（x）=ax²+bx+c，a、b、c为常数
由x²f′（x）-（2x-1）f（x）=1得，
x²•（2ax+b）-（2x-1）（ax²+bx+c）=2ax³+bx²-2ax³-2bx²-2cx+ax²+bx+c
=（a-b）x²+（b-2c）x+c=1，
则c=1，b-2c=0，a-b=0，
则a=b=2c=2，
即f（x）的解析式为f（x）=2x²+2x+1．

点评 本题重点考查了函数的导数求解方法和法则，属于中档题．体会待定系数法在求解函数解析式中的应用．