Question

9．对于定义域和值域都为[0，1]的函数f（x），设f₁（x）=f（x），${f_2}（x_0）=f（{f_1}（x）），…，{f_n}（x）=f（{f_{n-1}}（x））\;（n∈{N^*}）$，若x₀满足f_n（x₀）=x₀，则x₀称为f（x）的n阶周期点．
（1）若f（x）=1-x（0≤x≤1），则f（x）的3价周期点的值为$\frac{1}{2}$；
（2）若$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{2x，x∈[{0，\frac{1}{2}}]}\\{2-2x，x∈（{\frac{1}{2}，1}]}\end{array}}\right.$，则f（x）的2阶周期点的个数是4．

Answer 1

分析 （1）求出f₂（x）=x，f₃（x）=1-x，令1-x₀=x₀，能求出f（x）的3价周期点的值．
（2）当$0≤2x≤\frac{1}{2}$时，f₂（x）=4x．由f₂（x₀）=x₀，得x₀=0；当$\frac{1}{2}＜2x≤1$时，f₂（x）=2-4x．由f₂（x₀）=2-4x₀=x₀，得${x_0}=\frac{2}{5}$．从而当$0≤x≤\frac{1}{2}$时，f（x）有两个2阶周期点．同理，当$\frac{1}{2}＜x≤1$时，f（x）也有两个2阶周期点，由此能求出结果．

解答 解：（1）∵f（x）=1-x（0≤x≤1），
∴f₂（x）=f（1-x）=1-（1-x）=x，
f₃（x）=f（x）=1-x，
令1-x₀=x₀，则${x_0}=\frac{1}{2}$．
（2）当$0≤2x≤\frac{1}{2}$，即$0≤x≤\frac{1}{4}$时，f₂（x）=f（f₁（x））=f（2x）=4x．
由f₂（x₀）=x₀，得x₀=0；
当$\frac{1}{2}＜2x≤1$，即$\frac{1}{4}＜x≤\frac{1}{2}$时，f₂（x）=f（f₁（x））=f（2x）=2-2（2x）=2-4x．
由f₂（x₀）=2-4x₀=x₀，得${x_0}=\frac{2}{5}$．
所以当$0≤x≤\frac{1}{2}$时，f（x）有两个2阶周期点．
同理，当$\frac{1}{2}＜x≤1$时，f（x）也有两个2阶周期点，
故f（x）共有4个2阶周期点．
故答案为：$\frac{1}{2}$，4．

点评 本题考查函数的周期点的值的求法和函数的周期点的个数的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．