Question

已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合．直线l的参数方程为

x=tcosθ y=tsinθ

（t为参数，θ为直线l的倾斜角），圆C的极坐标方程为ρ²-8ρcosθ+12=0．
（Ⅰ）写出直线l普通方程与圆C的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线l与圆C相切，求θ的值．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程,简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（Ⅰ）当θ≠

π

2

时，直线l的直角坐标方程为y=xtanθ，当θ=

π

2

时，x=0．圆C的极坐标方程为ρ²-8ρcosθ+12=0．利用

x=ρcosθ y=ρsinθ

即可得出．
（Ⅱ）当直线l与圆C相切时，分类讨论：当θ=

π

2

时，x=0．此时直线与圆不相切．当θ≠

π

2

时，利用直线与圆相切的性质可得

|4tanθ|

1+tan2θ

=2，化简解出即可．

解答： 解：（Ⅰ）直线l的参数方程为

x=tcosθ y=tsinθ

（t为参数，θ为直线l的倾斜角），当θ≠

π

2

时，直线l的直角坐标方程为y=xtanθ，当θ=

π

2

时，x=0．
圆C的极坐标方程为ρ²-8ρcosθ+12=0．∴x²+y²-8x+12=0，
圆C的直角坐标方程为（x-4）²+y²=4．
（Ⅱ）当直线l与圆C相切时，①当θ=

π

2

时，x=0．此时直线与圆不相切．
②当θ≠

π

2

时，

|4tanθ|

1+tan2θ

=2，化为tanθ=±

3

3

，
∵θ∈[0，π），∴θ=

π

6

或θ=

5π

6

．
综上可得：θ=

π

6

或θ=

5π

6

．

点评：本题考查了把参数方程、极坐标方程化为普通方程、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．