Question

设函数f（x）=2

3

sinxcosx-2sin²x．
①求f（x）的值域和f（x）图象的对称轴方程；
②z△ABC中，A、B、C表示三个内角，若f（C）=1，求sin²A+sin²B-

3

sinAsinB的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：①利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式进行化简整理，进而利用三角函数图象与性质求得函数的值域和对称轴方程．②
②先根据已知条件求得C，进而利用余弦定理表示出c和a，b的关系式，最后通过正弦定理求得sin²A+sin²B-

3

sinAsinB的值．

解答： 解：①f（x）=

3

sin2x-1+cos2x=2sin（2x+

π

6

）-1，
∴f（x）的最大值为1，最小值为-3，即函数的值域为[-3，1]．
当2x+

π

6

=kπ+

π

2

时，即x=

kπ

2

+

π

6

（k∈Z），
∴函数的对称轴方程为x=

kπ

2

+

π

6

（k∈Z）．
②f（C）=2sin（2C+

π

6

）-1=1，
∴sin（2C+

π

6

）=1，
∴C=kπ+

π

6

（k∈Z）；
∵C∈（0，π），
∴C=

π

6

，
即c²=a²+b²-2abcos

π

6

=a²+b²-

3

ab，
故sin²A+sin²B-

3

sinAsinB=sin²C=

1

4

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理和余弦定理的应用．考查了学生对三角函数基础知识的综合运用．