Question

【题目】设函数.

（1）若在其定义域内为单调递增函数，求实数的取值范围；

（2）设，且，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围；

（3）求证：对任意的正整数，都有成立.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）见解析

【解析】

（1）函数的定义域为．

由知，

要使在其定义域内为单调递增函数，只须，即在内恒成立．

于是，注意到，等号在时成立，即在时有最大值1．从而．

（2）解法一：注意到在上是减函数，所以，即．

当时，由，得，故，不合题意．

当时，由（1）知在上是增函数，．

又在上是减函数，所以原命题等价于，，由，解得．

综上，的取值范围是．

解法二：原命题等价于在上有解，设

．

因为，

故是增函数，所以，解得．

所以的取值范围是．

（3）令，则由（1）知在内为单调减函数．

由于，故当时，有，即．

因此，，

即，故．

于是

．