Question

【题目】已知函数.

（1）若函数在上有2个零点，求实数的取值范围.（注）

（2）设，若函数恰有两个不同的极值点，，证明：.

Answer 1

【答案】（1）（2）见证明

【解析】

（1）将a分离，构造函数，利用导数研究的图像，得到a的范围.

（2）由已知，求其导函数，由x1，x2是g（x）的两个不同极值点，可得a＞0，结合g′（x1）＝0，g′（x2）＝0得到，进一步得到，把问题转化为证明，将其变形后整体换元构造函数．再利用导数证明＞0得答案．

（1）时，由得，

令

∴时，，

时，，

∴在上是减函数，在上是增函数.

又，，

，

∴，∴h（x）的大致图像：

利用与的图像知.

（2）由已知，∴，

因为，是函数的两个不同极值点（不妨设），

易知（若，则函数没有或只有一个极值点，与已知矛盾），

且，.所以，.

两式相减得，

于是要证明，即证明，两边同除以，

即证，即证，

即证，

令，.即证不等式，当时恒成立.

设，则 .

设，则，

当时，，

单调递减，所以，即，所以，

所以在时是减函数.故在处取得最小值.

所以得证.所以.