Question

【题目】如图，三棱柱中，，，，且平面⊥平面.

（1）求三棱柱的体积.

（2）点在棱上，且与平面所成角的余弦值为（），求的长．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）

【解析】

（1）在平面内过作与交于点，推导出平面，利用，解得，由此能求出三棱柱的高，从而可得结果；（2）先利用余弦定理与等腰三角形的性质证明，以为坐标原点，以分别为轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系， ，利用向量垂直数量积为零，求得平面的法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.

（1）如图，在平面内过作与交于点，

因为平面平面，且平面平面，平面，

所以平面，所以为与平面所成角，

由公式，解得，

所以，，

又的面积为，所以三棱柱的体积为.

（2）由（1）得在中，为中点，连接，

由余弦定理得，解得，

所以，（或者利用余弦定理求）

以为坐标原点，以分别为轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系，

则，

所以

设 ，设平面的法向量为，

则，即，不妨令，则，即.

，

又因为与平面所成角的余弦值为，

所以 ，

解得或，

又因为，所以.