Question

2．在直角坐标系中，已知两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）；x₁，x₂是一元二次方程2x²-2ax+a²-4=0两个不等实根，且A、B两点都在直线y=-x+a上．
（1）求$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$；
（2）a为何值时$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$夹角为$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 （1）由判别式大于0求出a的范围，利用根与系数关系结合A、B两点都在直线y=-x+a上求得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$；
（2）求出方程的根，结合A、B两点都在直线y=-x+a上可得x₁=y₂，x₂=y₁，求出$|\overrightarrow{OA}|•|\overrightarrow{OB}|$，再由数量积公式求出$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$，与（1）中的$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$结合得到关于a的方程，求解方程得答案．

解答 解：（1）∵x₁、x₂是方程2x²-2ax+a²-4=0两个不等实根，
∴△=4a²-8（a²-4）＞0，解得：$-2\sqrt{2}＜a＜2\sqrt{2}$，
且x₁+x₂=a，${x_1}{x_2}=\frac{1}{2}（{a^2}-4）$，
又∵A、B两点都在直线y=-x+a上，
∴y₁y₂=（-x₁+a）（-x₂+a）=${x_1}{x_2}-a（{x_1}+{x_2}）+{a^2}$=$\frac{1}{2}（{a^2}-4）$，
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=${x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}=\frac{1}{2}（{a}^{2}-4）+\frac{1}{2}（{a}^{2}-4）={a}^{2}-4$；
（2）求解方程2x²-2ax+a²-4=0，得${x_1}=\frac{{a-\sqrt{8-{a^2}}}}{2}$，${x_2}=\frac{{a+\sqrt{8-{a^2}}}}{2}$，
∴${y_1}=-{x_1}+a=\frac{{a+\sqrt{8-{a^2}}}}{2}={x_2}$，同理y₂=x₁，
∴$|\overrightarrow{OA}|•|\overrightarrow{OB}|=\sqrt{（{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}）（{{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}）}$=$x_1^2+x_2^2$=${（{x_1}+{x_2}）^2}-2{x_1}{x_2}=4$．
当$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$夹角为$\frac{π}{3}$时，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=|{\overrightarrow{OA}}||{\overrightarrow{OB}}|cos\frac{π}{3}=4×\frac{1}{2}=2$，
∴a²-4=2，解得：$a=±\sqrt{6}∈（-2\sqrt{2}，2\sqrt{2}）$．
∴$a=±\sqrt{6}$．

点评 本题考查一元二次方程的根与系数关系，考查了平面向量的数量积运算，训练了灵活变形能力，是中档题．