Question

13．抛物线C：y=x²在点P（x₀，y₀）处的切线l分别交x轴、y轴于不同的两点A、B．
（1）如果|AB|=$\sqrt{17}$，求点P的坐标：
（2）圆心E在y轴上的圆与直线l相切于点P，当|PE|=|PA|时，求圆的方程．

Answer 1

分析 （1）由导数的几何意义求出切线l的方程，从而得到A、B坐标，由|AB|=$\sqrt{17}$，能求出点P的坐标．
（2）设圆心E的坐标为（0，b），由题知k_PE•k_l=-1，从而得到${y}_{0}-b=-\frac{1}{2}$，由|PE|=|PA|，得到$4{{y}_{0}}^{2}-3{y}_{0}-1=0$，由此能求出圆E的方程．

解答 （本题满分14分）
解：（1）由抛物线C：y=x²，得y′=2x，∴${y}^{'}{|}_{x={x}_{0}}$=2x₀，
切线l的方程为y-y₀=2x₀（x-x₀），其中${y}_{0}={{x}_{0}}^{2}$，
令x=0得y=-${{x}_{0}}^{2}$，令y=0，得x=$\frac{{x}_{0}}{2}$，
所以$A（\frac{{x}_{0}}{2}，0）$，B（0，-${{x}_{0}}^{2}$），
∵|AB|=$\sqrt{17}$，∴$A{B}^{2}=\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}+{{x}_{0}}^{4}=17$，
解得x₀=±2，点P的坐标为（-2，4）或（2，4）．
（2）设圆心E的坐标为（0，b），由题知k_PE•k_l=-1，即$\frac{{y}_{0}-b}{{x}_{0}}•2{x}_{0}=-1$，
所以${y}_{0}-b=-\frac{1}{2}$，
由|PE|=|PA|，得${{x}_{0}}^{2}+（{y}_{0}-b）^{2}$=$（\frac{{x}_{0}}{2}）^{2}+{{y}_{0}}^{2}$，整理得$4{{y}_{0}}^{2}-3{y}_{0}-1=0$，
解得y₀=1或${y}_{0}=-\frac{1}{4}$（舍去），
所以b=$\frac{3}{2}$，圆E的圆心E的坐标为（0，$\frac{3}{2}$），
半径r=|PE|=$\sqrt{{{x}_{0}}^{2}+（{y}_{0}-b）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，圆E的方程为${x}^{2}+（y-\frac{3}{2}）^{2}=\frac{5}{4}$．

点评 本题考查点的坐标的求法，考查圆的方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数的几何意义和圆的性质的合理运用．