Question

10．定义：圆心到直线的距离与圆的半径之比为直线关于圆的距离比λ；
（1）设圆C₀：x²+y²=1，求过P（2，0）的直线关于圆C₀的距离比λ=$\sqrt{3}$的直线方程；
（2）若圆C与y轴相切于点A（0，3），且直线y=x关于圆C的距离比λ=$\sqrt{2}$，求此圆C的方程；
（3）是否存在点P，使过P的任意两条互相垂直的直线分别关于相应两圆C₁：（x+1）²+y²=1与C₂：（x-3）²+（y-3）²=4的距离比始终相等？若存在，求出相应的P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设过P（2，0）的直线方程为y=k（x-2），求得已知圆的圆心和半径，由新定义，可得方程，求得k，即可得到所求直线方程；
（2）设圆C的方程为（x-a）²+（y-b）²=r²，由题意可得a²+（3-b）²=r²，①|a|=r②，$\frac{|a-b|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$r③，解方程可得a，b，r，进而得到所求圆的方程；
（3）假设存在点P（m，n），设过P的两直线为y-n=k（x-m）和y-n=-$\frac{1}{k}$（x-m），求得两圆的圆心和半径，由新定义可得方程，化简整理可得k（2m+n-1）+（m-2n-3）=0，或k（2m-n+5）+（3-m-2n）=0，再由恒成立思想可得m，n的方程，解方程可得P的坐标．

解答 解：（1）设过P（2，0）的直线方程为y=k（x-2），
圆C₀：x²+y²=1的圆心为（0，0），半径为1，
由题意可得$\frac{|2k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{3}$，
解得k=±$\sqrt{3}$，
即有所求直线为y=±$\sqrt{3}$（x-2）；
（2）设圆C的方程为（x-a）²+（y-b）²=r²，
由题意可得a²+（3-b）²=r²，①
|a|=r②，$\frac{|a-b|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$r③
解方程可得a=-3，b=3，r=3，或a=1，b=3，r=1．
则有圆C的方程为（x+3）²+（y-3）²=9或（x-1）²+（y-3）²=1；
（3）假设存在点P（m，n），设过P的两直线为y-n=k（x-m）和
y-n=-$\frac{1}{k}$（x-m），又C₁：（x+1）²+y²=1的圆心为（-1，0），半径为1，
C₂：（x-3）²+（y-3）²=4的圆心为（3，3），半径为2，
由题意可得$\frac{|k+km-n|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{|\frac{3}{k}+3-\frac{m}{k}-n|}{2\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}}$，
化简可得k（2m+n-1）+（m-2n-3）=0，或k（2m-n+5）+（3-m-2n）=0，
即有$\left\{\begin{array}{l}{2m+n=1}\\{m-2n=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{2m-n=-5}\\{m+2n=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{7}{5}}\\{n=\frac{11}{5}}\end{array}\right.$．
则存在这样的点P（1，-1）和（-$\frac{7}{5}$，$\frac{11}{5}$），使得使过P的任意两条互相垂直的直线
分别关于相应两圆的距离比始终相等．

点评 本题考查新定义的理解和运用，考查直线和圆的位置关系，以及点到直线的距离公式，考查恒成立问题的解法，属于中档题．