Question

12．△ABC中，点D在BC上，AD平分∠BAC，若$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{b}$，|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=3，则$\overrightarrow{AD}$=（　　）

• A． $\frac{2}{5}\overrightarrow{a}+\frac{3}{5}\overrightarrow{b}$
• B． $\frac{4}{5}\overrightarrow{a}+\frac{3}{5}\overrightarrow{b}$
• C． $\frac{3}{5}\overrightarrow{a}+\frac{4}{5}\overrightarrow{b}$
• D． $\frac{3}{5}\overrightarrow{a}+\frac{2}{5}\overrightarrow{b}$

Answer 1

分析 由角平分线的性质可得：$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$，$BD=\frac{2}{5}BC$．再利用向量三角形法则$\overrightarrow{BD}=\frac{2}{5}\overrightarrow{BC}$=$\frac{2}{5}（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$，$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{BA}$，代入即可得出．

解答 解：由角平分线的性质可得：$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$，∴$\frac{BD}{BC}=\frac{AB}{AB+AC}$=$\frac{2}{2+3}$=$\frac{2}{5}$，∴$BD=\frac{2}{5}BC$．
∴$\overrightarrow{BD}=\frac{2}{5}\overrightarrow{BC}$=$\frac{2}{5}（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$，
∴$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{BA}$=$\frac{2}{5}（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$+$\overrightarrow{AB}$=$\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}+\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}$=$\frac{2}{5}\overrightarrow{b}+\frac{3}{5}\overrightarrow{a}$．
故选：D．

点评 本题考查了角平分线的性质、向量三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．