Question

8．定义在R上的函数f（x）对任意实数x满足f（1+x）=f（1-x）与f（x+2）=f（x），且当x∈[3，4]时，f（x）=x-2，则$f（\frac{1}{2}）$=$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 先求出函数的周期，然后根据函数f（x）关于直线x=1对称则f（x）=f（2-x），利用性质化$f（\frac{1}{2}）$到区间[3，4]，代入f（x）=x-2求出函数值，从而得到函数值的大小关系．

解答 解：∵对任意实数x满足f（x+2）=f（x），
∴函数的周期为2，
∵f（1+x）=f（1-x），∴函数f（x）关于直线x=1对称，
∴f（x）=f（2-x），
∵当x∈[3，4]时，f（x）=x-2，
∴f（$\frac{1}{2}$）=f（2-$\frac{1}{2}$）=f（$\frac{3}{2}$+2）=$\frac{7}{2}$-2=$\frac{3}{2}$，
故答案为：$\frac{3}{2}$．

点评 本题主要考查了函数周期性以及奇偶性与单调性的综合，同时考查了转化能力，属于中档题．