Question

8．设首项为2，公比为q（q＞0）的等比数列的前n项和为S_n，且T_n=a₂+a₄+a₆+…+a_2n，
（1）求S_n；
（2）求$\lim_{n→∞}\frac{S_n}{T_n}$．

Answer 1

分析 （1）对q分类讨论，利用等比数列的前n项和公式可得S_n；
（2）利用数列极限法则即可得出．

解答 $\begin{array}{l}解：（1）当q=1，{S_n}=2n；\\ 当q＞0且q≠1，{S_n}=\frac{{2（1-{q^n}）}}{1-q}\\∴{S_n}=\left\{{\begin{array}{l}{2n，q=1}\\{\frac{{2（1-{q^n}）}}{1-q}，q＞0且q≠1}\end{array}}\right.\end{array}$
（2）①当q=1时，S_n=2n，T_n=2n，$\lim_{n→∞}\frac{S_n}{T_n}$=1，
②当q≠1时，${S_n}=\frac{{2（1-{q^n}）}}{1-q}，{T_n}=\frac{{2q（1-{q^{2n}}）}}{{1-{q^2}}}$，
∴$\frac{S_n}{T_n}=\frac{1+q}{{q（1+{q^n}）}}$．
若0＜q＜1，$\lim_{n→∞}\frac{S_n}{T_n}$=$\frac{1+q}{q}$．
若q＞1，$\lim_{n→∞}\frac{S_n}{T_n}$=0．
故：$\lim_{n→∞}\frac{S_n}{T_n}$=$\left\{\begin{array}{l}1，q=1\\ 0，q＞1\\ \frac{1+q}{q}\begin{array}{l}{\;}，{0＜q＜1}\end{array}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式与前n项和公式、数列极限运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．