Question

6．已知函数y=f（x），x∈R，对于任意的x，y∈R，f（x-y）=f（x）-f（y），当x＞0时，f（x）＞0．
（1）求证：f（0）=0，且f（x）是奇函数；
（2）求证：y=f（x），x∈R是增函数；
（3）设f（1）=2，求f（x）在x∈[-5，5]时的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （1）令x=y=0，解得f（0）=0．令x=0，可得f（-y）=-f（y），可得函数f（x）是奇函数．
（2）设x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，可得当x＞0时，f（x）＞0．f（x₂-x₂）=f（x₂）-f（x₁）＞0即可证明．
（3）由（2）可知：f（x）在x∈[-5，5]时是增函数，因此最大值与最小值分别为f（5），f（-5）．由f（1）=2，可得f（2）=f（1）+f（2-1）=2f（1），同理可得f（4）=2f（2）．可得f（5）=f（1）+f（5-1），f（-5）=-f（5）．

解答 （1）证明：令x=y=0，则f（0-0）=f（0）-f（0），∴f（0）=0．
令x=0，则f（-y）=f（0）-f（y）=-f（y），∴函数f（x）是奇函数．
（2）证明：设x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，
∵当x＞0时，f（x）＞0．∴f（x₂-x₂）=f（x₂）-f（x₁）＞0，∴f（x₂）＞f（x₁），
∴y=f（x），x∈R是增函数．
（3）解：由（2）可知：f（x）在x∈[-5，5]时是增函数，
因此最大值与最小值分别为f（5），f（-5）．
∵f（1）=2，∴f（2）=f（1）+f（2-1）=2f（1）=4，f（4）=2f（2）=8．
f（5）=f（1）+f（5-1）=2+8=10．
∴f（-5）=-f（5）=-10．
∴f（x）在x∈[-5，5]时的最大值与最小值分别为10，-10．

点评 本题考查了抽象函数的奇偶性与单调性、函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．