Question

1．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，点E，F分别在线段AC，D₁B上，且$\frac{AE}{AC}=\frac{{{D_1}F}}{{{D_1}B}}$=λ（λ∈（0，+∞）），直线EF与直线AD₁，B₁C所成的角为θ₁，θ₂，又f（λ）=|EF|[cos（θ₁+θ₂）+sin（θ₁+θ₂）]，则f（λ）随着λ增大时（　　）

• A． f（λ）先增大后减小，且最小值为1
• B． f（λ）先减小后增大，且最小值为1
• C． f（λ）先减小后增大，且最小值为$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$
• D． f（λ）先增大后减小，且最小值为$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$

Answer 1

分析 利用排除法，结合特殊位置，即可得出结论．

解答 解：$λ=\frac{1}{2}$时，|EF|=$\frac{1}{2}$，θ₁=θ₂=45°，f（$\frac{1}{2}$）=|EF|[cos（θ₁+θ₂）+sin（θ₁+θ₂）]=$\frac{1}{2}$，排除A，B；
λ=1时，|EF|=1，θ₁=θ₂=45°，f（1）=|EF|[cos（θ₁+θ₂）+sin（θ₁+θ₂）]=1；
λ=0时，|EF|=$\sqrt{2}$，θ₁=0，θ₂=90°，f（0）=|EF|[cos（θ₁+θ₂）+sin（θ₁+θ₂）]=$\sqrt{2}$，∴f（λ）先减小后增大．
故选C．

点评 本题考查棱柱的结构特征，考查分类讨论的数学思想，考查极限思想，属于中档题．