Question

3．在数列{a_n}中，a₁=1，3a_n+1a_n+a_n+1-a_n=0（n∈N^*）．
（1）求证：数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项．

Answer 1

分析 （1）将3a_n+1a_n+a_n+1-a_n=0，两边同除以a_na_n+1，整理得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=3，可得数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差数列；
（2）先求数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的通项公式，再求a_n

解答 （1）证明：将3a_n+1a_n+a_n+1-a_n=0，两边同除以a_na_n+1
整理得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=3，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差数列；
（2）解：∵a₁=1，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+（n-1）×3=3n-2，
∴a_n=$\frac{1}{3n-2}$．

点评 本题考查等差数列的判定、通项公式求解．考查转化构造、计算能力．