Question

18．已知双曲线C与双曲线$\frac{{y}^{2}}{2}$-x²=1有相同的渐近线，且C的一个顶点为（1，0），C的焦点为F₁，F₂，在曲线C上有一点M满足$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=0，求点M到x轴的距离．

Answer 1

分析 求出双曲线的方程，由$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=0得MF₁⊥MF₂，可知点M在以F₁F₂为直径的圆x²+y²=3上，由此可以推导出点M到x轴的距离．

解答 解：∵双曲线C与双曲线$\frac{{y}^{2}}{2}$-x²=1有相同的渐近线，
∴设双曲线C：$\frac{{y}^{2}}{2}$-x²=λ，
∵C的一个顶点为（1，0），
∴λ=-1，
∴双曲线C：x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1的焦点为F₁（-$\sqrt{3}$，0），F₂（$\sqrt{3}$，0）．
又∵$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=0，
∴MF₁⊥MF₂，∴点M在以F₁F₂为直径的圆x²+y²=3上
故与x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1联立得|y|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴点M到x轴的距离为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件．