Question

已知数列{a_n}的前n项和为Sn，若S_n=3a_n+2n．
（1）求证：数列{a_n-2}是等比数列． 
（2）若b_n=n×（a_n-2），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用递推关系式去证明相邻项的比值是常数，所以数列是等比数列．
（2）利用（1）的结论，求出数列bn=-3n(

2

3

)n-1进一步设新数列，利用乘公比错位相减法求数列的和．

解答： 解：数列{a_n}的前n项和为Sn，若S_n=3a_n+2n．①
利用递推关系式：S_n-1=3a_n-1+2（n-1）②
所以：①-②得：2a_n=3a_n-1-2
整理得：2（a_n-2）=3（a_n-1-2）

an-2

an-1-2

=

2

3

当n=1时，a₁=-1
a₁-2=-3符合数列的通项公式
所以：数列{a_n-2}是等比数列．
（2）由（1）得：bn=-3n(

2

3

)n-1
设cn=n(

2

3

)n-1
则：数列{c_n}的前n项和，
S_n=c₁+c₂+…+c_n=1•

2

3

0+2•

2

3

1+3•

2

3

2+n•

2

3

n-1③

2

3

Sn=1•

2

3

1+2•

2

3

2+3•

2

3

3+n•

2

3

n④
③-④得：

1

3

Sn=

3(1- 2 3 n)

1 3

-n•

2

3

n
整理得：Sn=9(1-

2

3

n)-3n

2

3

n
进一步求出：Tn=27(

2

3

n-1)+9n

2

3

n

点评：本题考查的知识要点：利用递推关系式去证明相邻项的比值是常数，乘公比错位相减法求数列的和．属于基础题型．