Question

2014年全国网球赛规定：比赛分四个阶段，只有上一阶段的胜者，才能继续参加下一阶段的比赛，否则就
被淘汰，选手每闯过一个阶段，个人积10分，否则积0分．甲、乙两个网球选手参加了此次比赛．已知甲每
个阶段取胜的概率为

1

2

，乙每个阶段取胜的概为

2

3

．甲、乙取胜相互独立．
（1）求甲、乙两人最后积分之和为20分的概率；
（2）设甲的最后积分为X，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量及其分布列,离散型随机变量的期望与方差

专题：概率与统计

分析：（1）设“甲、乙两人最后积分之和为20分”为事件A，“甲得0分，乙得20分”为事件B，“甲得10分，乙得10分”为事件C，“甲得20分，乙得0分”为事件D，P（A）=P（B+C+D），由此能求出甲、乙两人最后积分之和为20分的概率．
（2）X的取值为0，10，20，30，40，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．

解答： （本小题满分12分）
解：（1）设“甲、乙两人最后积分之和为20分”为事件A，
“甲得0分，乙得20分”为事件B，
“甲得10分，乙得10分”为事件C，
“甲得20分，乙得0分”为事件D，
又P（B）=(1-

1

2

)(

2

3

)2(1-

2

3

)=

2

27

，
P（C）=

1

2

(1-

1

2

)•

2

3

•(1-

2

3

)=

1

18

，
P（D）=(

1

2

)2(1-

1

2

)(1-

2

3

)=

1

24

，
P（A）=P（B+C+D）=

2

27

+

1

18

+

1

24

=

37

216

．
（2）X的取值为0，10，20，30，40，
P（X=0）=1-

1

2

=

1

2

，
P（X=10）=

1

2

(1-

1

2

)=

1

4

，
P（X=20）=(

1

2

)2(1-

1

2

)=

1

8

，
P（X=30）=(

1

2

)3(1-

1

2

)=

1

16

，
P（X=40）=（

1

2

）⁴=

1

16

，
∴X的分布列为：

X	0	10	20	30	40
P	1 2	1 4	1 8	1 16	1 16

EX=0×

1

2

+10×

1

4

+20×

1

8

+30×

1

16

+40×

1

16

=

75

8

．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题．