已知$\overrightarrow a.\overrightarrow b$是单位向量.$\overrightarrow a.\overrightarrow b$的夹角为90°.若向量$\overrightarrow c满足$|$\overrightarrow c-\overrightarrow a-\overrightarrow b|=2$.则$\overrightarrow{|c}$|� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

8．已知$\overrightarrow a，\overrightarrow b$是单位向量，$\overrightarrow a，\overrightarrow b$的夹角为90°，若向量$\overrightarrow c满足$|$\overrightarrow c-\overrightarrow a-\overrightarrow b|=2$，则$\overrightarrow{|c}$|的最大值为（　　）

A．

$2-\sqrt{2}$

B．

$\sqrt{2}$

C．

D．

$2+\sqrt{2}$

分析设$\overrightarrow a，\overrightarrow b$分别是x轴与y轴正方向上的单位向量，则$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow{b}$=（0，1），$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（1，1），再设$\overrightarrow{c}$=（x，y），可求得$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=（x-1，y-1），利用|$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{（x-1）}^{2}{+（y-1）}^{2}}$=2，可得点C的轨迹是以（1，1）为圆心，2为半径的圆，求得圆心M（1，1）到原点的距离为|OM|=$\sqrt{{1}^{2}{+1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，从而可得答案．

解答解：依题意，设$\overrightarrow a，\overrightarrow b$分别是x轴与y轴正方向上的单位向量，
则$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow{b}$=（0，1），$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（1，1），
设$\overrightarrow{c}$=（x，y），
则$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=（x-1，y-1），
因为|$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{（x-1）}^{2}{+（y-1）}^{2}}$=2，
所以（x-1）²+（y-1）²=4，
故$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{OC}$中，点C的轨迹是以（1，1）为圆心，2为半径的圆，
圆心M（1，1）到原点的距离为|OM|=$\sqrt{{1}^{2}{+1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
$\overrightarrow{|c}$|_max=$\sqrt{2}$+2．
故选：D．

点评本题考查平面向量数量积的坐标运算，求得点C的轨迹是以（1，1）为圆心，2为半径的圆是关键，考查向量加法及运算求解能力，属于中档题．

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