Question

17．如图所示，等腰梯形ABCD的底角 A等于60°，直角梯形 ADEF所在的平面垂直于平面ABCD，∠EDA=90°，且ED=AD=2AB=2AF．
（1）证明：平面ABE⊥平面EBD；
（2）若三棱锥 A-BDE的外接球的体积为$\frac{{8\sqrt{2}π}}{3}$，求三棱锥 A-BEF的体积．

Answer 1

分析 （1）由平面ADEF⊥平面ABCD，ED⊥AD，利用面面垂直的性质定理可得：ED⊥平面ABCD，因此AB⊥ED．又AD=2，AB=1，A=60°，可得AB⊥BD．即可证明AB⊥平面EBD，于是平面ABE⊥平面EBD．
（2）由（1）得AD⊥DE，AB⊥BE，可得三棱锥A-BDE的外接球的球心为线段AE的中点．再利用球的体积计算公式与三棱锥的体积计算公式即可得出．

解答 （1）证明：因为平面ADEF⊥平面ABCD，
平面ADEF∩平面ABCD=AD，ED⊥AD，ED?平面ADEF，
∴ED⊥平面ABCD，
∵AB?平面ABCD，∴AB⊥ED，
又∵AD=2，AB=1，A=60°，∴AB⊥BD．
又BD∩ED=D，BD，ED?平面EBD，
∴AB⊥平面EBD，
又AB?平面ABE，所以平面ABE⊥平面EBD．
（2）解：由（1）得AD⊥DE，AB⊥BE，所以三棱锥A-BDE的外接球的球心为线段AE的中点．
∴$\frac{4}{3}•π•{（{\frac{AE}{2}}）^3}=\frac{{8\sqrt{2}π}}{3}$，解得$AE=2\sqrt{2}，AD=ED=2，AB=AF=1$，
∴${V_{A-BEF}}={V_{B-AEF}}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×2×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{6}$．

点评 本题考查了线面面面垂直的判定与性质定理、直角三角形的性质、球的体积计算公式与三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．