Question

函数f（x）=x²-2|x|+2的定义域是[a，b]（a＜b），值域是[2a，2b]，则符合条件的数组（a，b）的组数为（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：由函数f（x）=x²-2|x|+2的值域为[1，+∞）可得a≥

1

2

，此时函数f（x）=x²-2|x|+2=x²-2x+2=（x-1）²+1≥1，结合若函数f（x）=x²-2|x|+2的定义域是[a，b]（a＜b），值域是[2a，2b]，及二次函数的图象和性质，分类讨论，可得答案．

解答： 解：∵f（x）=x²-2|x|+2=（|x|-1）²+1≥1，
故2a≥1，即a≥

1

2

，
此时函数f（x）=x²-2|x|+2=x²-2x+2=（x-1）²+1≥1，
若函数f（x）=x²-2|x|+2的定义域是[a，b]（a＜b），值域是[2a，2b]，则：
①当

1

2

≤a＜b＜1时，
∴f（a）=2b，f（b）=2a
即a²-2a+2=2b
b²-2b+2=2a
两式相减得：（a-b）（a+b）-2（a-b）=2（b-a）
即（a-b）（a+b）=0
∵a＜b，a-b≠0，而b＞a≥

1

2

，a+b＞0
∴不存在满足条件的数组，
②当

1

2

≤a＜1＜b时，
函数最小值即为顶点纵坐标，
∴2a=1，a=

1

2

，
若 b-1＜1-a，则f（a）=2b，2b=

5

4

，b=

5

8

（舍去）；
若 b-1＞1-a，则f（b）=2b，b²-4b+2=0，b=2+

2

 或b=2-

2

 （舍去）；
③当1＜a＜b时，
f（b）=2b且f（a）=2a
b²-2b+2=2b
a²-2a+2=2a
a，b必然有一根小于1，矛盾
∴不存在满足条件的数组，
综上所述a=

1

2

，b=2+

2

，即符合条件的数组（a，b）的组数为1，
故选：B

点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，分类讨论思想，难度较大，属于难题．