Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在（0，1），此时圆上一点P的位置在（0，0），圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于（1，1）时，

OP

的坐标为

 

．

Answer 1

考点：平面向量的坐标运算

专题：平面向量及应用

分析：设滚动后的圆的圆心为C并设∠BCP=θ，求出⊙C的方程和参数方程，由题意求出角θ，再由三角函数的诱导公式，化简可得P为（2-sin2，1-cos2），即可求出

OP

的坐标．

解答： 解：设滚动后的圆的圆心为C，切点为A（2，0），连接CP
过C作与x轴正方向平行的射线，交圆C于B（2，1），设∠BCP=θ
∵⊙C的方程为（x-1）²+（y-1）²=1，
∴根据圆的参数方程，得P的坐标为（1+cosθ，1+sinθ），
∵单位圆的圆心的初始位置在（0，1），圆滚动到圆心位于（1，1）
∴∠ACP=1，可得θ=

3π

2

+1，
可得cosθ=cos（

3π

2

-1）=-sin1，sinθ=sin（

3π

2

-1）=-cos2，
代入上面所得的式子，得到P的坐标为（1-sin2，1-cos2），
所以

OP

的坐标是（1-sin1，1-cos1），
故答案为：（1-sin1，1-cos1）．

点评：本题根据半径为1的圆的滚动，求一个向量的坐标，考查了圆的参数方程和平面向量的坐标表示的应用等知识点，属于中档题．