Question

7．α、β均为钝角，且sinα=$\frac{12}{13}$，cos（β-α）=$\frac{3}{5}$，求sinβ的值．

Answer 1

分析 根据平方关系和角的范围求出cosα、sin（β-α），利用两角差的正弦公式求出sinβ的值．

解答 解：∵α、β均为钝角，且sinα=$\frac{12}{13}$，∴cosα=-$\sqrt{1-si{n}^{2}α}$=$-\frac{5}{13}$，
由90°＜α＜180°，90°＜β＜180°得，
-180°＜-α＜-90°，则-90°＜β-α＜90°，
∵cos（β-α）=$\frac{3}{5}$，∴sin（β-α）=$±\sqrt{1-co{s}^{2}（β-α）}$=$±\frac{4}{5}$，
当sin（β-α）=$\frac{4}{5}$时，sinβ=sin（β-α+α）=sin（β-α）cosα+cos（β-α）sinα
=$\frac{4}{5}×（-\frac{5}{13}）+\frac{3}{5}×\frac{12}{13}$=$\frac{16}{65}$；
当sin（β-α）=-$\frac{4}{5}$时，sinβ=sin（β-α+α）=sin（β-α）cosα+cos（β-α）sinα
=-$\frac{4}{5}×（-\frac{5}{13}）+\frac{3}{5}×\frac{12}{13}$=$\frac{56}{65}$，
sinβ的值是$\frac{16}{65}$或$\frac{56}{65}$．

点评 本题考查两角和差的正弦公式，三角函数值的符号，用已知角表示所要求的角是解决本题的关键，注意角的范围．