题目内容
16．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x∈Q}\\{0，x∈{∁}_{R}Q}\end{array}\right.$被称为狄利克雷函数，其中R为实数集，Q为有理数集，则关于函数f（x）有如下四个命题：①函数f（x）是偶函数；
②f（f（x））=0；
③任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对任意的x∈R恒成立；
④不存在三个点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），
使得△ABC 为等边三角形．其中为真命题的是①③④．
分析 ①由有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，对任意x∈R，都有f（-x）=f（x），即可判断出正误；
②当x为有理数时，f（x）=1；当x为无理数时，f（x）=0，可得当x为有理数时，f（f（x））=f（1）=1；当x为无理数时，f（f（x））=f（0）=1，即可判断出正误．
③若x是有理数，则x+T也是有理数； 若x是无理数，则x+T也是无理数，可得f（x+T）=f（x）；
④取x1=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，x2=0，x3=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．则f（x1）=0，f（x2）=1，f（x3）=0，则△ABC为等边三角形，即可判断出正误．
解答 解：对于①，∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，
∴对任意x∈R，都有f（-x）=f（x），故①正确；
对于②，∵当x为有理数时，f（x）=1；当x为无理数时，f（x）=0，
∴当x为有理数时，f（f（x））=f（1）=1；当x为无理数时，f（f（x））=f（0）=1，
即不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））=1，故②不正确；
对于③，若x是有理数，则x+T也是有理数； 若x是无理数，则x+T也是无理数，
∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对x∈R恒成立，故③正确；
对于④，取x1=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，x2=0，x3=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．则f（x1）=0，f（x2）=1，f（x3）=0，则△ABC为等边三角形，故正确．
即真命题是①③④，
故答案为：①③④．
点评 本题考查了狄利克雷函数的性质、函数的性质、等边三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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”，由
不等式成立，推证
时，左边应增加的项的项数是 ．
11．已知函数y=$\frac{sinx}{x}$在（0，π）上是（ ）
| A． | 增函数 | B． | 减函数 | ||
| C． | 既是增函数又是偶函数 | D． | 既是减函数又是偶函数 |
2．在x∈[0，2π]上满足cosx≤$\frac{1}{2}$的x的取值范围是（ ）
| A． | [0，$\frac{π}{3}$] | B． | [$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{3}$] | C． | [$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$] | D． | [$\frac{5π}{3}$，π] |
3．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2^{x+1}}，-1≤x≤0\\{x^3}-3x+2，0＜x≤a\end{array}$的值域为[0，2]，则实数a的取值范围为（ ）
| A． | （0，1] | B． | [1，$\sqrt{3}$] | C． | [1，2] | D． | [$\sqrt{3}$，2] |