Question

已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=π/2，AB=BC=2AD=4，E，F分别是AB，CD上的点，EF∥BC，AE=x，G是BC的中点，沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF．
（1）当x=2时，①求证：BD⊥EG；②求二面角D-BF-C的余弦值；
（2）三棱锥D-FBC的体积是否可能等于几何体ABE-FDC体积的一半？并说明理由．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,平面与平面垂直的判定,二面角的平面角及求法

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）①：过D点作EF的垂线交EF于H，连接BH，由已知得四边形ADHE是正方形，四边形EHGB是正方形，由此能证明BD⊥EG．
②以E为原点，EB为x轴，EF为y轴，EA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D-BF-C的余弦值．
（2）由已知得三棱锥D-BCF的体积为V=

1

3

S△BFC•DH=

1

3

(8-2x)x=

8

3

x-

2

3

x2，V_ABE-FDC=V_ABE-DGH+V_D-HGCF=

16

3

x-

13

12

x2＞2V，从而棱锥D-FBC的体积不可能等于几何体ABE-FDC体积的一半．

解答： （1）①证明：过D点作EF的垂线交EF于H，连接BH．如图．
∵AE=AD=2　且AE∥DH，AD∥EF，∠A=

π

2

．
∴四边形ADHE是正方形
∵EH=2
∴四边形EHGB是正方形
即：BH⊥EG（正方形对角线互为垂直）
∵△BDH所在平面⊥平面EHGB，
∴EG⊥△BDH所在平面
即：BD⊥EG．
②解：以E为原点，EB为x轴，EF为y轴，
EA为z轴，建立空间直角坐标系，
B（2，0，0），F（0，3，0），
D（0，2，2），C（2，4，0），

BF

=（-2，3，0），

BD

=（-2，2，2），
设平面BDF的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • BD =-2x+2y+2z=0 n • BF =-2x+3y=0

，取x=3，得

n

=（3，2，1），
又平面BCF的法向量

m

=（0，0，1），
cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

1

14

=

14

14

．
∴二面角D-BF-C的余弦值为

14

14

．
（2）解：∵AE⊥EF，平面AEFD⊥平面EBCF，
平面AEFD∩平面EBCF=EF，AE?平面AEFD．
∴AE⊥面EBCF．结合DH⊥平面EBCF，得AE∥DH，
∴四边形AEHD是矩形，得DH=AE，
故以F、B、C、D为顶点的三棱锥D-BCF的高DH=AE=x，
又∵S_△BCF=

1

2

BC•BE=

1

2

×4×(4-x)=8-2x．
∴三棱锥D-BCF的体积为V=

1

3

S△BFC•DH=

1

3

(8-2x)x=

8

3

x-

2

3

x2，
V_ABE-FDC=V_ABE-DGH+V_D-HGCF
=S△ABE•AD+

1

3

SHGCF•DH
=

1

2

x(4-x)×2+

1

3

×

1

2

(

1

2

x+2)(4-x)x
=

16

3

x-

13

12

x2＞2V，
∴棱锥D-FBC的体积不可能等于几何体ABE-FDC体积的一半．

点评：本题给出平面折叠问题，求证直线与直线垂直，求体积的最大值并求此时异面直线所成角大小．着重考查了面面垂直的性质定理、线面垂直的判定与性质和异面直线所成角大小的求法等知识，属于中档题．