已知函数f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{x}.x＜0}\\{\frac{x}{{x}^{2}+1}.x≥0}\end{array}\right.$.若函数g-t有三个不同的零点x1.x2.x3.且x1＜x2＜x3.则-$\frac{1}{{x} {1}}$+$\frac{1}{{x} {2}}$+$\frac{1}{{x} {3}}$� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

4．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{x}，x＜0}\\{\frac{x}{{x}^{2}+1}，x≥0}\end{array}\right.$，若函数g（x）=f（x）-t有三个不同的零点x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃，则-$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$+$\frac{1}{{x}_{3}}$的取值范围是（$\frac{5}{2}$，+∞）．

分析画出函数的图象，求出x≥0时f（x）的最大值，判断零点的范围，然后推出结果．

解答解：函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{x}，x＜0}\\{\frac{x}{{x}^{2}+1}，x≥0}\end{array}\right.$，图象如图，函数g（x）=f（x）-t有三个不同的零点x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃，即方程f（x）=t有三个不同的实数根x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃，
当x＞0时，f（x）=$\frac{1}{x+\frac{1}{x}}$，因为x+$\frac{1}{x}$≥2（x＞0），
所以f（x）$≤\frac{1}{2}$，当且仅当x=1时取得最大值．
当y=$\frac{1}{2}$时，x₁=-2；x₂=x₃=1，此时-$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$+$\frac{1}{{x}_{3}}$=$\frac{5}{2}$，
由函数的图象可知x₁＜-2；0＜x₂$＜\frac{1}{2}$＜x₃，
可得：0＜-$\frac{1}{{x}_{1}}$$＜\frac{1}{2}$；$\frac{1}{{x}_{2}}$＞1；0＜$\frac{1}{{x}_{3}}$＜1，
则-$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$+$\frac{1}{{x}_{3}}$的取值范围是（$\frac{5}{2}$，+∞）．
故答案为：（$\frac{5}{2}$，+∞）．

点评本题考查函数的零点个数的判断与应用，基本不等式的应用，考查数形结合思想以及转化思想的应用．

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组号	年龄	访谈人数	愿意使用
1	[20，30）	5	5
2	[30，40）	10	10
3	[40，50）	15	12
4	[50，60）	14	8
5	[60，70）	6	2

（1）若在第2、3、4组愿意选择此款“流量包”套餐的人中，用分层抽样的方法抽取15人，则各组应分别抽取多少人？
（2）若从第5组的被调查访谈人中随机选取2人进行追踪调查，求2人中至少有1人愿意选择此款“流量包”套餐的概率．
（3）按以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断以50岁为分界点，能否在犯错误不超过1%的前提下认为是否愿意选择此款“流量包”套餐与人的年龄有关；

	年龄不低于50岁的人数	年龄低于50岁的人数	合计
愿意使用的人数
不愿意使用的人数
合计

参考公式K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d．

P（K²≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

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则P（u-σ＜X＜u+σ）=0.683，P（u-2σ＜X＜u+2σ）=0.954．