Question

14．若函数f（x）=lg（kx²+3x+2k）
（1）若函数y=f（x）的定义域为{x|1＜x＜2}，求实数k的值
（2）若k＞0，求函数y=f（x）的定义域．

Answer 1

分析 （1）根据题意得出不等式kx²+3x+2k＞0的解集为{x|1＜x＜2}，由一元二次不等式与对应方程的关系即可求出k的值；
（2）根据题意，求k＞0时不等式kx²+3x+2k＞0的解集即可．

解答 解：（1）∵f（x）=lg（kx²+3x+2k），
∴kx²+3x+2k＞0，
又函数y=f（x）的定义域为{x|1＜x＜2}，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k＜0}\\{-（1+2）=\frac{3}{k}}\end{array}\right.$，
解得k=-1；
（2）根据题意，k＞0时，不等式kx²+3x+2k＞0，
令△=9-8k²=0，解得k=±$\frac{3\sqrt{2}}{4}$；
∴当0＜k＜$\frac{3\sqrt{2}}{4}$时，△＞0，不等式的解集为{x|x＜$\frac{-3-\sqrt{9-{8k}^{2}}}{2k}$或x＞$\frac{-3+\sqrt{9-{8k}^{2}}}{2k}$}；
当k=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$时，△=0，不等式的解集为{x|x≠-$\frac{3}{2k}$}；
当k＞$\frac{3\sqrt{2}}{4}$时，△＜0，不等式的解集为R；
综上，0＜k＜$\frac{3\sqrt{2}}{4}$时，函数f（x）的定义域为{x|x＜$\frac{-3-\sqrt{9-{8k}^{2}}}{2k}$或x＞$\frac{-3+\sqrt{9-{8k}^{2}}}{2k}$}；
k=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$时，函数f（x）的定义域为{x|x≠-$\frac{3}{2k}$}；
k＞$\frac{3\sqrt{2}}{4}$时，函数f（x）的定义域为R．

点评 不同考查了对数函数的定义域，含有字母系数的一元二次不等式ax²+bx+c＞0的解法与应用问题，也考查了转化法与分类讨论思想的应用问题，是综合性题目．