题目内容

1．如图，已知|AB|=10，图中的一系列圆是圆心分别为A、B的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是1，2，3，…，n，…．利用这两组同心圆可以画出以A、B为焦点的椭圆或双曲线．若其中经过点M、N的椭圆的离心率分别是eM，eN，经过点P，Q的双曲线的离心率分别是eP，eQ，则它们的大小关系是（　　）
A．eM＜eN＜eQ＜ePB．eN＜eM＜eP＜eQC．eP＜eQ＜eM＜eND．eQ＜eN＜eM＜eP

分析 由题意可知：所有的双曲线的焦距一定为|AB|=10，即2c=10，c=5，由椭圆的定义分别求出eM，eN，由双曲线的定义，分别求出eP，eQ，由此能比较eM，eN，eP，eQ的大小关系．

解答 解：由题意可知：所有的双曲线的焦距一定为|AB|=10，即2c=10，c=5，
由椭圆的定义：
对过M点的椭圆：|PA|+|PB|=2a=3+10=13，
∴a=$\frac{13}{2}$，${e}_{M}=\frac{5}{\frac{13}{2}}$=$\frac{10}{13}$，
对过N点的椭圆：|PA|+|PB|=2a=5+7=12，
∴a=6，${e}_{N}=\frac{5}{6}$．
由双曲线的定义：
对过P点的双曲线：||PA|-|PB||=2a=|7-3|=4，
∴a=2，eP=$\frac{5}{2}$，
对过Q点的双曲线：||PA|-|PB||=2a=|3-8|=5，
∴a=$\frac{5}{2}$，${e}_{Q}=\frac{5}{\frac{5}{2}}$=2，
∴eM＜eN＜eQ＜eP．
故选：A．

点评 本题考查双曲线和椭圆的离心率的大小关系的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆、双曲线的性质的合理运用．

练习册系列答案
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