Question

14．已知函数$f（x）={sin^2}x+2\sqrt{3}sinxcosx+3{cos^2}x-1$
（Ⅰ）求函数f（x）的单调减区间；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位长度得到函数g（x）的图象，求g（x）在区间$[{0，\frac{π}{2}}]$上的最值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数f（x）的单调减区间．
（Ⅱ）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域求得g（x）在区间$[{0，\frac{π}{2}}]$上的最值．

解答 解：（Ⅰ）函数$f（x）={sin^2}x+2\sqrt{3}sinxcosx+3{cos^2}x-1$
=1+cos2x+$\sqrt{3}$sin2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，
可得函数f（x）的单调减区间为[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z．
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位长度得到
函数g（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{6}$）+1=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+1 的图象，
在区间$[{0，\frac{π}{2}}]$上，2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，故当2x-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{6}$时，g（x）取得最小值为0；
故当2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，g（x）取得最大值为2+1=3．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．