Question

4．已知点P在曲线y=$\frac{4}{{e}^{x}+1}$上，a为曲线在点P处的倾斜角，则a的取值范围是（　　）

• A． [0，$\frac{π}{4}$）
• B． [$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）
• C． （$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$]
• D． [$\frac{3π}{4}$，π）

Answer 1

分析 利用导数在切点处的值是曲线的切线斜率，再根据斜率等于倾斜角的正切值求出角的范围．

解答 解：因为y=$\frac{4}{{e}^{x}+1}$上的导数为y′=-$\frac{4{e}^{x}}{（{e}^{x}+1）^{2}}$=-$\frac{4}{{e}^{x}+\frac{1}{{e}^{x}}+2}$，
∵e^x+e^-x≥2$\sqrt{{e}^{x}\frac{1}{{e}^{x}}}$=2，
∴e^x+e^-x+2≥4，
∴y′∈[-1，0）
即tanα∈[-1，0），
∵0≤α＜π
∴$\frac{3}{4}$π≤α＜π．
即α的取值范围是[$\frac{3}{4}$π，π）．
故选：D

点评 本题主要考查直线的斜率关系、导数的几何意义．属于基础题．