Question

19．已知点Q（-$\frac{6}{5}$，$\frac{13}{5}$）关于直线y=2x+1的对称点是P，焦点在x轴上的椭圆经过点P，且离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设O为坐标原点，在椭圆短轴上有两点M，N满足$\overrightarrow{OM}$=$\overrightarrow{NO}$，直线PM、PN分别交椭圆于A，B．探求直线AB是否过定点，如果经过请求出定点的坐标，如果不经过定点，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得P（2，1），由椭圆的离心率可得a²=4b²，将P（2，1）代入椭圆方程，即可求解椭圆的方程．
（Ⅱ）当M，N分别是短轴的端点时，显然直线AB为y轴，所以若直线过定点，这个定点一点在y轴上，当M，N不是短轴的端点时，设直线AB的方程为y=kx+t，设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），联立直线与椭圆方程，利用判别式大于0，结合韦达定理，求解M，N的坐标，利用向量关系，代入化简即可推出直线经过的定点．

解答 解：（Ⅰ）点Q（-$\frac{6}{5}$，$\frac{13}{5}$）关于直线y=2x+1的对称点是P（m，n），可得$\left\{\begin{array}{l}{2×\frac{n-\frac{13}{5}}{m+\frac{6}{5}}=-1}\\{\frac{n+\frac{13}{5}}{2}=2×\frac{m-\frac{6}{5}}{2}+1}\end{array}\right.$，解得m=2，n=1
得P（2，1），由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则a²=4b²，
将P（2，1）代入椭圆$\frac{{x}^{2}}{4{b}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，则$\frac{1}{{b}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=1$，解得：b²=2，则a²=8，
∴椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；    …6分
（Ⅱ）当M，N分别是短轴的端点时，显然直线AB为y轴，所以若直线过定点，这个定点一点在y轴上，
当M，N不是短轴的端点时，设直线AB的方程为y=kx+t，设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\\{y=kx+t}\end{array}\right.$，（1+4k²）x²+8ktx+4t²-8=0，•
则△=16（8k²-t²+2）＞0，
x₁+x₂=-$\frac{8kt}{4{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{4{t}^{2}-8}{4{k}^{2}+1}$，
又直线PA的方程为y-1=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-2}$（x-2），即y-1=$\frac{k{x}_{1}+t-1}{{x}_{1}-2}$（x-2），
因此M点坐标为（0，$\frac{（1-2k）{x}_{1}-2t}{{x}_{1}-2}$），同理可知：N（0，$\frac{（1-2k）{x}_{2}-2t}{{x}_{2}-2}$），
由$\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{NO}$，则$\frac{（1-2k）{x}_{1}-2t}{{x}_{1}-2}$+$\frac{（1-2k）{x}_{2}-2t}{{x}_{2}-2}$=0，
化简整理得：（2-4k）x₁x₂-（2-4k+2t）（x₁+x₂）+8t=0，
则（2-4k）×$\frac{4{t}^{2}-8}{4{k}^{2}+1}$-（2-4k+2t）（-$\frac{8kt}{4{k}^{2}+1}$）+8t=0，
化简整理得：（2t+4）k+（t²+t-2）=0，•
当且仅当t=-2时，对任意的k都成立，直线AB过定点Q（0，-2）…12分．

点评 本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．