Question

在如图所示的几何体中，四边形ABCD和BDMN都是矩形，且MD⊥平面ABCD，P是MN的中点.若AB=4,BC=3,MD=1,

（Ⅰ）求证:DP∥平面ANC；

（Ⅱ）求二面角N-AC-B的余弦值.

Answer 1

（Ⅰ）证明:连接BD交AC于O,连接NO,……………………………1分

∵四边形ABCD,BDMN都是矩形,

∴O是BD的中点,又P是MN的中点,

∴PN∥DO

∴四边形PNOD是平行四边形，

∴DP∥ON………………………………2分

又DP平面ANC，NO平面ANC

∴DP∥平面ANC；……………………………4分

（Ⅱ）解法一：作BH垂直于AC于H连接NH ，……………………………………………………6分

∵MD⊥平面ABCD,DM∥NB,

∴NH⊥平面ABCD,

由三垂线定理得：NH⊥AC,…………………………………8分

∴∠NHB是二面角N-AC-B的平面角，………………………9分

在RT△NBH中，

,,,…………………11分

∴,

∴二面角N-AC-B的余弦值为…………………………12分

解法二:建立如图所示的坐标系,

则:A(3,0,0),C(0,4,0),N(3,4,1),………………………………………………7分

设是平面ANC的一个法向量,

又,

则

解得:

∴………………………9分

又是平面ABC的一个法向量,……………………………10分

设二面角N-AC-B的大小为,

则,

∴二面角N-AC-B的余弦值为……………………………………………12分