Question

2．若（a+b+c）（b+c-a）=3ab，且sinA=2sinBcosC，那么△ABC是（　　）

• A． 直角三角形
• B． 等边三角形
• C． 等腰三角形
• D． 等腰直角三角形

Answer 1

分析 对（a+b+c）（b+c-a）=3bc化简整理得b²-bc+c²=a²，代入余弦定理中求得cosA，进而求得A=60°，又由sinA=2sinBcosC，可求$\frac{sinA}{sinB}$=2cosC，即$\frac{a}{b}$=2$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，化简可得b=c，结合A=60°，进而可判断三角形的形状．

解答 解：∵（a+b+c）（b+c-a）=3bc，
∴[（b+c）+a][（b+c）-a]=3bc，
∴（b+c）²-a²=3bc，
b²+2bc+c²-a²=3bc，
b²-bc+c²=a²，
根据余弦定理有a²=b²+c²-2bccosA，
∴b²-bc+c²=a²=b²+c²-2bccosA，
bc=2bccosA，
cosA=$\frac{1}{2}$，
∴A=60°，
又由sinA=2sinBcosC，
则$\frac{sinA}{sinB}$=2cosC，即$\frac{a}{b}$=2$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，
化简可得，b²=c²，
即b=c，
∴△ABC是等边三角形
故选：B．

点评 本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用．要熟练记忆余弦定理的公式及其变形公式，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．