Question

9．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=60°，∠BAC=90°，AD是BC上的高，沿AD将△ABC折成60⁰的二面角B-AD-C，如图2．
（1）证明：平面ABD⊥平面BCD．
（2）设E为BC的中点，BD=2，求异面直线AE与BD所成的角的大小．

Answer 1

分析 （1）根据AD⊥BD，AD⊥CD，且 AD∩CD=D，证得AD⊥平面BCD，利用平面和平面垂直的判定定理可得平面ABD⊥平面BCD．
（2）取CD的中点F，利用三角形的中位线，∠AEF为异面直线AE与BD所成的角（或其补角）．利用余弦定理、勾股定理求得AF，AE的长度，求得cos∠AEF的值，可得结论．

解答 解：（1）证明：∵AD是BC上的高，沿AD将△ABC折成60⁰的二面角B-AD-C，
∴AD⊥BD，AD⊥CD，且 AD∩CD=D，∴AD⊥平面BCD．
又AD?平面ABD，∴平面ABD⊥平面BCD．
（2）取CD的中点F，连接EF，则EF∥BD，∠AEF为异面直线AE与BD所成的角（或其补角）．
在Rt△ABC中，∠ABC=60°，∠BAC=90°，BD=2，∴EF=1，AD=BD•tan∠ABC=2$\sqrt{3}$，
CD=AD•cot30°=6，∴DF=3，AF=$\sqrt{{AD}^{2}{+DF}^{2}}$=$\sqrt{21}$．
△BCD中，由题意，∠BDC=60°，∴BC=$\sqrt{{BD}^{2}{+CD}^{2}-2BD•CD•cos∠BDC}$=2$\sqrt{7}$，BE=$\sqrt{7}$，
cos∠CBD=$\frac{{BD}^{2}{+BC}^{2}{-CD}^{2}}{2BD•BC}$=-$\frac{1}{2\sqrt{7}}$，∴DE=$\sqrt{{BD}^{2}{+BE}^{2}-2BD•BE•cos∠CBD}$=13，
AE=$\sqrt{{AD}^{2}{+DE}^{2}}$=5，
△AEF中，由余弦定理可得cos∠AEF=$\frac{{AE}^{2}{+EF}^{2}{-AF}^{2}}{2AE•EF}$=$\frac{1}{2}$，∴异面直线AE与BD所成的角的大小为60°．

点评 本题主要考查平面和平面垂直的判定定理的应用，求空间角的方法，余弦定理的应用，解三角形，属于中档题．