Question

18．定义平面点集R²={x，y）|x∈R，y∈R丨，对于集合M⊆R²，若对?P₀∈M，?r＞0，使得{P∈R²||PP₀|＜r}⊆M，则称集合从为“开集”．给出下列命题：
①集合{x，y）|（x-1）²+（y-3）²＜1}是开集；
②集合{x，y）|x≥0，y＞0}是开集；
③开集在全集R²上的补集仍然是开集；
④两个开集的并集是开集．
其中你认为正确的所有命题的序号是①④．

Answer 1

分析 根据新定义进行计算后判断，弄清开集的定义是解决本题的关键．即所选的集合需要满足存在以该集合内任意点为圆心，任意正实数为半径的圆内部分均在该集合内．初步确定该集合不含边界

解答 解：对于①，集合{x，y）|（x-1）²+（y-3）²＜1}表示以点（0，3）为圆心，1为半径的圆面（不含边界），在该平面点集A中的任一点（x₀，y₀），则该点到圆周上的点的最短距离为d，取r=d，则满足，故正确；
对于②，在x=0，y＞0的曲线上任意取点（x₀，y₀），以任意正实数r为半径的圆面，均不满足条件，故错；
对于③，依题意可确定开集不含边界，开集在全集R²上的补集有边界，不是开集，故错；
对于④，两个开集的并集满足开集的定义，故正确．
故答案为：①④．

点评 本题属于集合的新定义型问题，考查学生即时掌握信息，解决问题的能力．正确理解好集的定义是解决本题的关键，属于中档题．