Question

四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面PBC⊥底面ABCD，E，F分别是PB，AD的中点，已知∠ABC=45°，AB=2，BC=2

2

，PA=PB=

3

．
（Ⅰ）证明：EF∥平面PCD；
（Ⅱ）证明：PA⊥BC：
（Ⅲ）求直线PD与平面PAB所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,直线与平面所成的角

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）取BC的中点M，连结ME，MF，由已知得ME∥PC，MF∥CD，ME∩MF=M，由此能证明面MEF∥平面PCD，从而得到EF∥平面PCD．
（Ⅱ）作PO⊥BC，垂足为O，连结AO，由已知得PO⊥底面ABCD，AO=BO，△AOB为等腰直角三角形，AO⊥BO，由此能证明PA⊥BC．
（Ⅲ）由PA⊥BC，得PA⊥AD，由AD=BC=2

2

，PA=

3

，AO=

2

，由V_D-PAB=V_P-ABD，由此能求出直线PD与平面PAB所成角的正弦值．

解答： （Ⅰ）证明：取BC的中点M，连结ME，MF，
∵E，F分别是PB，AD的中点，底面ABCD为平行四边形，
∴ME∥PC，MF∥CD，ME∩MF=M，
又∵ME不包含于平面PCD，MF不包含于平面PCD，
∴ME∥平面PCD，MF∥平面PCD，
∴平面MEF∥平面PCD，
∴EF∥平面PCD．
（Ⅱ）证明：作PO⊥BC，垂足为O，连结AO，
∵侧面PBC⊥底面ABCD，
∴PO⊥底面ABCD，
∵PA=PB，∴AO=BO，
又∠ABC=45°，故△AOB为等腰直角三角形，AO⊥BO，
∴BO⊥平面PAO，
∴PA⊥BC．
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知PA⊥BC，
∵AD∥BC，故PA⊥AD，
由AD=BC=2

2

，PA=

3

，AO=

2

，
得PO=1，PD=

11

，
∴△PAB的面积S1=

1

2

AB×

SA2- 1 4 AB2

=

2

，
连结DB，得△DAB的面积S2=

1

2

AB×AD×sin135°=2，
设D到平面PAB的距离为h，
由V_D-PAB=V_P-ABD，得

1

3

h×S1=

1

3

PO×S2，
解得h=

2

，
设PD与平面PAB所成角为α，
则sinα=

h

PD

=

22

11

，
∴直线PD与平面PAB所成角的正弦值为

22

11

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与直线垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．