Question

如图，在几何体ABCDEF中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE为矩形，平面ACEF⊥平面ABCD，CF=1．
（Ⅰ）求证：平面FBC⊥平面ACFE；
（Ⅱ）若M为线段EF的中点，设平面MAB与平面FCB所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,平面与平面垂直的判定

专题：计算题,证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）证明BC⊥AC，从而证明BC⊥平面ACFE，可证平面ACFE⊥平面FBC；（2）以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，用空间向量完成．

解答： 解：（Ⅰ）证明：在四边形ABCD中，
∵AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，
∴AB=2，AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cos60°=3，
∴AB²=AC²+BC²，
∴BC⊥AC．
∵平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD=AC，BC?平面ABCD，
∴BC⊥平面ACFE．
又∵BC?平面FBC，
∴平面ACFE⊥平面FBC．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可建立分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴的如图所示的空间直角坐标系，
则C（0，0，0），A（

3

，0，0），B（0，1，0），M（

3

2

，0，1），
∴

AB

=（-

3

，1，0），

BM

=（

3

2

，-1，1），
设

n1

=（x，y，z）为平面MAB的一个法向量，由

n1 • AB =0 n1 • BM =0

得，

- 3 x+y=0 3 2 x-y+z=0

取x=1，则n₁=（1，

3

，-

3

2

），∵

n2

=（1，0，0）是平面FCB的一个法向量，
∴cosθ=

. n1 • n2   .

. n1   . . n2   .

=

2 19

19

．
所以平面MAB与平面FCB所成锐二面角的余弦值

2 19

19

．

点评：本题第（1）小题要注意图形分解，找到突破口，第2问用空间直角坐标系求解，注意空间向量．属于中档题．