Question

已知点（0，1），（3+2

2

，0），（3-2

2

，0）在同圆C上．   
（1）求圆C方程             
（2）若圆C与直线x-y+a=0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系,圆的标准方程

专题：直线与圆

分析：（1）设出圆的标准方程，把三个点代入，联立方程组求得．
（2）设出点A，B的坐标，联立直线与圆的方程，消去y，确定关于x的一元二次方程，已知的垂直关系，确定x₁x₂+y₁y₂=0，利用韦达定理求得a．

解答： 解：（1）∵圆过（3+2

2

，0），（3-2

2

，0）点，故圆心的横坐标为3，
设圆的方程为（x-3）²+（y-n）²=r²，
把点（3+2

2

，0）代入圆的方程得8+n²=r²，①
把点（0，1）代入圆的方程得9+（1-n）²=r²，②
①②联立求得n=1，r²=9，
故圆C的方程为（x-3）²+（y-1）²=9．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），若OA⊥OB，则x₁x₂+y₁y₂=0，
    联立直线与圆的方程

（x-3）2+（y-1）2=9 x-y+a=0

，
    2x2+2（a-4）x+（a-1）2=0，
    x₁x₂+y₁y₂=2x₁x₂+a（x₁+x₂）+a²=0，
    代入两根之和与两根之积，解得a=-1．

点评：本题主要考查了直线与圆的位置关系，圆的标准方程．考查了学生分析和图象观察能力．注意把圆的代数问题与圆的平面性质相结合．