Question

已知斜三棱柱,,,在底面上的射影恰为的中点,又知.

(Ⅰ)求证：平面；    
(Ⅱ)求到平面的距离；
(Ⅲ)求二面角的大小。

Answer 1

解法：(Ⅰ)∵平面,∴平面平面,
又,∴平面, 得,又,
∴平面.…………………4分
(Ⅱ)∵,四边形为菱形,故,
又为中点,知∴.取中点,则
平面,从而面面,…………6分
过作于,则面,在中,,故,即到平面的距离为.…………………8分
(Ⅲ)过作于,连,则,从而为二面角的平面角,在中,,∴,…………10分
在中,,故二面角的大小为.
…………………12分
解法：(Ⅰ)如图,取的中点,则,∵,∴,
又平面,以为轴建立空间坐标系, …………1分

则,,,,,,
,,由,知,
又,从而平面.…………………4分
(Ⅱ)由,得.设平面的法向量
为,,,,
设,则.…………6分
∴点到平面的距离.…………………8分
(Ⅲ)设面的法向量为,,,
∴.…………10分
设,则,故,根据法向量的方向
可知二面角的大小为.…………………12分

略