Question

（本题满分14分）如图，在三棱锥中，
，，
设顶点在底面上的射影为．
（Ⅰ）求证:；
（Ⅱ）设点在棱上，且，
试求二面角的余弦值

Answer 1

证明：（I）方法一：由平面得，
又，则平面，
故，…………………………………………3分
同理可得，则为矩形，又，
则为正方形，故．…………………6分
方法二：由已知可得，设为的中点，则
，则平面，故平面平面，则顶点在
底面上的射影必在，故．
（II）方法一:由（I）的证明过程知平面，过作，垂足为，
则易证得，故即为二面角的平面角，……………………………9分
由已知可得，则，故，则，
又，则，………………………………………………………………故，即二面角的余弦值为．………………………14
分

方法二: 由（I）的证明过程知为正方形，如图建立坐
标系，则，
可得，则，易知平面
的一个法向量为，设平面的一个法向量为
，则由得，
则，即二面角的余弦值为．

略