Question

如图，三棱锥中，底面，，，为的中点，点在上，且.
（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面所成的二面角的平面角（锐角）的余弦值.

Answer 1

（1）证明：∵底面，且底面，
∴            …………………1分
由，可得     …………………………2分
又 ，
∴平面                              …………………………3分
注意到平面，
∴                               …………………………4分
,为中点，
∴                              …………………………5分
，平面      …………………………6分
而平面，
∴                      …………………………7分
（2）方法一、如图，以为原点、所在直线为轴、为轴建立空间直角坐标系.
则         …………………………8分
.      …………………………10分
设平面的法向量.

由得，
即……………（1）
     ……………（2）
取，则，.   …………………………12分
取平面的法向量为
则，
故平面与平面所成角的二面角（锐角）的余弦值为.    ……………14分
方法二、取的中点，的中点，连接，
，，∴.      ……………8分
，
∴.            ……………9分
同理可证：. 又，
∴.…………10分

则与平面所成的二面角的平面角（锐角）就等于平面与平面所成的二面角的平面角（锐角）
已知，，平面
∴，∴                    …………11分
又，∴平面
由于平面，∴
而为与平面的交线，
又底面，平面
为二面角的平面角                               …………12分
根据条件可得，
在中，
在中，由余弦定理求得                                   …………13分

故平面与平面所成角的二面角（锐角）的余弦值为.               …………14分

略