Question

如图，四边形ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，M为PA的中点．
（1）求证：PC∥平面BDM；
（2）若PA=AC=

2

，BD=2

3

，求直线BM与平面PAC所成的角的大小．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）设AC，BD交于点O，连结MO，由已知得MO∥PC，由此能证明PC∥平面BDM．
（2）由已知得BO⊥AC，BO⊥PA，从而BO⊥平面PAC，∠BMO是直线BM与平面PAC所成的角，由此能求出直线BM与平面PAC所成的角的大小．

解答： （1）证明：设AC，BD交于点O，连结MO，
∵四边形ABCD是菱形，∴O是AC的中点，
∵M为PA的中点，∴MO∥PC，
∵MO?平面BDM，PC不包含于平面BDM，
∴PC∥平面BDM．
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴BO⊥AC，
∵PA⊥平面ABCD，∴BO⊥PA，
又PA∩AC=A，∴BO⊥平面PAC，
∴∠BMO是直线BM与平面PAC所成的角，
∵PA=AC=

2

，BD=2

3

，
∴MO=

1

2

PC=

1

2

2+2

=1，BO=

1

2

BD=

3

，
∴tan∠BMO=

BO

MO

=

3

1

=

3

，
∴∠BMO=60°，
∴直线BM与平面PAC所成的角的大小为60°．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查直线BM与平面PAC所成的角的大小的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．