题目内容
已知双曲线
-
=1，其右焦点为F，P其上一点，点M满足|
|=1，
•
=0，则|
|的最小值为 ．
| x2 |
| 9 |
| y2 |
| 16 |
. |
| MF |
. |
| MF |
| MP |
| MP |
考点：双曲线的简单性质
专题：数形结合,平面向量及应用,圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：画出图形，结合图形，得出在Rt△FPM中，要使直角边|
|最小，只需|
|最小，求出|
|的最小值，即得|
|的最小值．
| MP |
| FP |
| FP |
| MP |
解答：
解：∵|
|=1，∴点M是以点F（5，0）为圆心，1为半径的单位圆；
不妨设P为双曲线右支上的任一点，
∵
•
=0，∴
⊥
，
∴△PMF为直角三角形，且∠FMP=90°，|
|为该直角三角形的斜边长；
∵P为双曲线
-
=1上的点，
在Rt△FPM中，要使直角边|
|最小，由于|
|=1，
只需|
|最小，
∵当点P为双曲线C的右支与x轴的交点时，|
|最小，此时P（3，0）．
∴|
|=
=
，如图所示；
∴|
|的最小值为
．
故答案为：
．
解：∵|| MF |
不妨设P为双曲线右支上的任一点，
∵
| MF |
| MP |
| MF |
| MP |
∴△PMF为直角三角形，且∠FMP=90°，|
| FP |
∵P为双曲线
| x2 |
| 9 |
| y2 |
| 16 |
在Rt△FPM中，要使直角边|
| MP |
| MF |
只需|
| FP |
∵当点P为双曲线C的右支与x轴的交点时，|
| FP |
∴|
| MP |
| (5-3)2-12 |
| 3 |
∴|
| MP |
| 3 |
故答案为：
| 3 |
点评：本题考查了平面向量的应用问题，也考查了双曲线的定义与几何性质的应用问题，考查了圆的定义与性质的应用问题，是综合题．
练习册系列答案
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如图，四边形ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，M为PA的中点．在区间（0，+∞）上是减函数的是（ ）
| A、y=2x | ||
B、y=log
| ||
| C、y=2x | ||
| D、y=x2 |
已知A（2，1），B（3，5），把
按向量（3，2）平移后得到一个新向量
，那么下面各向量中能与
垂直的是（ ）
| AB |
| CD |
| CD |
| A、（-3，-2） | ||||
B、(
| ||||
| C、（-4，1） | ||||
| D、（0，-2） |